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Newtonsche Bewegungsgleichung: Langweilig?

(elkement. Zuletzt geändert: 2009-11-07. Erstellt: 2004-09-28. Tags: Physik, Mechanik, Klassische Mechanik, Newton, Kraft, Differenzialgleichung, Wirkung, Energie)

Die Newton'sche Bewegungsgleichung dient meist als Einstiegspunkt in die mathematische Welt der Physik - und wirkt sehr einfach und langweilig. In natürliche Sprache übersetzt, sagt sie aus, dass zu jeder Zeit die Beschleunigung eines Teilchens (einer Punktmasse) durch dessen Masse und die einwirkende Kraft in folgender Weise bestimmt wird:

Kraft = Masse x Beschleunigung

Die Beschleunigung wiederum ist gleich der zeitlichen Änderung der Geschwindigkeit und mathematisch damit gleich der zweiten Ableitung der Änderung des Aufenthaltsortes des Teilchens nach der Zeit. Dies gilt in der Form streng genommen nur, wenn sich die Masse nicht mit der Zeit ändert. Aber auch dieser Fall berücksichtigt werden, in dem die Kraft allgemein dargestellt wird als:

Kraft = Zeitliche Änderung des Impulses

Mit folgender Definition des Impulses:

Impuls = Masse x Geschwindigkeit

Indem man die gedachte Punktmasse ersetzt durch ein kleines Volumenelement in Materie, kann hier die gesamte Mechanik verformbarer Körper abgeleitet werden (Kontinuumsmechanik).

Diese Gleichung wird zu einer Bestimmungsgleichung der Bahnkurve eines Teilchens (oder allgemeiner: der zeitlichen Entwicklung eines massebehafteten Volumenenelementes), wenn sie auf folgende Art betrachtet wird:

Masse x (Zweite Ableitung der Bahnkurve nach der Zeit) = Kraft

Die Kraft wiederum kann selbst von Orts- und Zeitkoordinate abhängen, so dass für ein einzelnes Teilchen mit einer Bahnkurve x(t) in einer eindimensionalen Welt [x... Ortskoordinate, t... Zeit] sich folgende Bestimmungsgleichung ergibt. m repräsentiert hier die konstante Masse und K die von Ort und Zeit abhängige Kraft K(x,t). d/dt stellt den Operator eine Ableitung nach der Zeit dar, d2/dt2 die zweite Ableitung, also die zweifache Anwendung dieses Operators.

m . d2x/dt2 = K(x,t)

Diese Gleichung ist eine so genannte Bestimmungsgleichung für die Bahnkurve eines Teilchens durch den Raum unserer Abschauung. Sie wird mathematisch gelöst, indem

  • ...die Funktion für die Kraft explizit eingesetzt wird. Im Fall einer idealisierten Feder wäre das z.B. eine Funktion die proportional zum Quadrat der 'Auslenkung' x ist, also K = -k . x2 mit k als Federkonstante, einer fixen Zahl. (Das negative Vorzeichen deutet hier an, dass die Kraft entgegengesetzt zur Auslenkung der Feder wirkt.)
  • ... so genannte Anfangsbedingungen berücksichtigt werden, zum Beispiel der Ort und die Geschwindigkeit des Teilchens zu einer bestimmten Zeit.

Philosophie der Bewegungsgleichung und Alternativen

Die oben beschriebene Differentialgleichung kann auf folgende Art interpretiert werden: Zu jedem Zeitpunkt bestimmt die Kraft die Krümmung der Bahnkurve (Krümmung ist hier zeitlich gemeint, da es sich in diesem Beispiek um eine eindimensionale Welt handelt - aber im Fall der Bewegung auf einer Kreisbahn in einem zwei- oder dreidimensionalen Raum würde die sichtbare Krümmung im Raum tatsächlich auch mit einer Beschleunigung in Zusammenhang stehen.)

Das heißt, das Teilchen 'tastet sich vorwärts', auf seiner Bahn, Zeitschritt dt für Zeitschritt.

Aber es gibt eine andere Art, den gleichen Sachverhalt mathematisch zu beschreiben, der aber einen anderen philosophischen Hintergrund hat oder zu haben scheint: Die Newton'sche Bewegungsgleichung kann dargestellt werden als das Ergebnis folgender Überlegung:

  • Aus der Bahnkurve des Teilchens ermittelt man die so genannte 'Wirkung' bzw. das 'Wirkungsintegral'. Hier handelt es sich um das Integral der Differenz zwischen kinetischer und potentieller Energie. Da die Bahnkurve ermittelt werden soll, ist die Abhängigkeit von der Zeit zu diesem Zeitpunkt noch nicht bekannt. Die Bahnkurve x(t) wird eben genau in dieser Form in die Abhängigkeit der potentiellen und der kinetischen Energie von Ort und Zeit eingesetzt. Es handelt sich hier um ein Funktional - eine Funktion, die von einer anderen anderen Funktion (x(t)) abhängt.
  • Nun wird postuliert, dass diese 'Wirkung'  einen minimalen Wert erreichen soll (vergleichbar zu der Minimierung der Energie oder der Maximierung der Entropie in der Thermodynamik.
  • Aus einer mathematischen Untersuchung dieser Minimumsbedingung - einer so genannten 'Variation' des Wirkungsintegrales - ergibt sich nun wiederum die Newton'sche Bewegungsgleichung.

Die Details dieser Ableitung werden von Richard Feynman in Band 2 seiner Physics Lectures dargestellt (Kapitel 19:  The Principle of Least Action).

Entscheidend ist, dass hier implizit alle möglichen Wege des Teilchens zwischen Anfangs- und Endpunkt betrachtet werden, also ob man rückwirkend den Endpunkt kennen würde bzw. als ob man alle möglichen Bahnen in Millionen möglicher 'Universen' vergleichen würde. Unter der Annahme, dass die Endpunkte fix sind, beschreibt die Newton'sche Bewegungsgleichung den Pfad der minimalen Wirkung.

Dies scheint nun eine völlig unterschiedliche Annäherung an den gleichen Sachverhalt zu sein: Einmal tastet sich das Teilchen (oder allgemeiner: das System) Schritt für Schritt vorwärts, nach den Regeln einer differentiell formulierten Anleitung. Nach dem eben beschriebenen Formalismus wiederum betrachtet man alle möglichen Wege in integraler Form und ermitteln den tatsächlich realisierten durch die Betrachtung einer integralen Größe.

Die integrale Betrachtung erscheint ungewohnt und wirft die Frage auf, wie das Teilchen denn nun wissen soll, wie es sich zwischen den Zeiten t und t + dt verhalten soll, wenn doch das Gesetz, dem es folgen soll, für den gesamten langen Weg gilt. Die Lösung des scheinbaren Konfliktes liegt darin, dass die Minimumsbedingung nicht nur für den gesamten Weg gilt, sondern auch für beliebige Teilstücke (sonst wäre das Gesetz nicht universell). Betrachtet man nun kleinere und kleinere Ausschnitte aus dem gesamten Weg, dann wird die Minimalbedingung für das Integral (der Wirkung) zur Bedingung, dass sich die potentielle Energie wenig ändert bei Variation der Bahn. Mathematisch betrachtet, entspricht die Änderung der potentiellen Energie der ersten Ableitung der Potentialfunktion nach der Ortskoordinate - und das ist für so genannte 'konservative Kräfte' wiederum genau der Kraft.

Mechanik und Quantenmechanik

Überlegungen wie die oben beschriebene machen für mich die Mechanik in 'philosophischer Hinsicht' genauso interessant wie wie die Quantenmechanik. Noch deutlicher wird das in der statistischen Mechanik als 'Hintergrund' der Thermodynamik, wenn formale Beschreibungen werden, die die klassische Mechanik bis auf 'Quantenterme' auch formal der Quantentheorie ähnlich sehen lassen.

Mechanik und 'Mechanisches Denken'

(Hier handelt es sich um eine unvollständige Gedankenskizze)

Hier soll es nicht im Detail um Mechanik gehen, sondern um die Auswirkung des Erfolges der Mechanik auf das Denken der Menschen - bis heute.

Für mich ist nicht ganz klar, was der Durchschnittsbürger von Quantenphysik weiß, bei Mechanik bin ich mir da eher sicher. Ich glaube (u.a. aufgrund von Diskussionen mit an Quantenphysik Interessierten), dass dieses so genannte mechanistische Weltbild uns so prägt, dass wir Probleme bekommen die Quantenphysik zu 'verstehen', weil sie mit den Bildern umher fliegender bunter Billard-Kugeln kollidiert, dass wir z.B. von Atomen haben. Würden die oben erwähnten alternativen Darstellungsarten der Mechanik bekannter sein, wäre dies vielleicht nicht der Fall.

(Noch nicht erwähnt wurden hier auch chaotische Phänomene in Mehr-Körper-Systemen, die wieder einen 'geheimnisvollen' Aspekt zur Mechanik beisteuern).

Da die Quantenphysik wie auch die Relativitätstheorie zwar dem Namen nach bekannt ist, aber als 'unverständlich' gilt, werden hier oft mystisch-esoterische Vorstellungen als 'Erklärungskitt' verwendet.

Wie das genau funktioniert und was man hier z.B. in der Ausbildung an der Schule oder an z.B. an wissenschaftichen Zeitschriften oder Fernsehsendungen, ist noch zu untersuchen. Ein Problem könnte hier sein, dass 'Wissen' bruchstückhaft und anekdotenhaft vermittelt wird - mit der Begründung, das wir ja bei der berühmten Explosion des Wissens keine Chance hätten, jemals alles zu wissen. Umso wichtiger erschiene mir die Darstellung der Grundlagen anstelle von Anekdoten. Vielleicht bedarf es aber den Fähigkeiten eines Feynman, diese so darzustellen, dass sie nicht als 'trockene Theorie' empfunden werden.

Anekdoten sind wichtig zur Verankerung des Wissens durch 'Geschichten', allerdings müssen diese Anekdoten immer vor dem Hintergrund geschichtlicher Ereignisse gesehen und vermittelt werden. Gerade im Bereich der Quantenphysik (und der Wissenschaft generell) erscheint die Diskussionen um Interpretationen und 'richtige Theorien' in einem anderen Licht, kennt man auch die persönlichen Differenzen der beteiligten Personen (Siehe Publikationen zur Geschichte von Physik und Mathematik, z.B. Sonderheft Spektrum der Wissenschaft zur Quantenmechanik oder die Abrisse zur Geschichte der Mathematik im Buch 'Pi in the Sky'.)

Persönliche Website von Elke Stangl, Zagersdorf, Österreich, c/o punktwissen.
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