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Unsere Photovoltaik-Anlage

(elkement. Zuletzt geändert: 2015-06-03. Erstellt: 2015-06-02. Tags: Photovoltaik, Solarenergie, PV, Sonnenenergie, Strom, Wechselrichter, Logging, Feuerwehrschalter)

Ein Ökofreak in Österreich oder Deutschland sollte eine haben, oder?

Ich muss zugeben, unsere Argumente waren eher ökonomisch.

Wirtschaftlichkeit

Seit unserem Dachbodenumbau haben wir mit dem Gedanken gespielt: die oberen Dachflächen unseres Mansardendaches haben auch zufällig die optimalen 30° Neigung. Nachdem die Modulpreise seit Jahren sinken und mittlerweile Wechselrichter und Installation schon einen größeren Teil der Kosten ausmachen, haben wir die Anlage im Frühling 2015 endlich errichten lassen.

Unsere Überschlagsrechnung:

  • Typische Kosten in Österreich für eine fertig installierte Anlage inklusive Wechselrichter: € 2.000 / kWp
  • Auf unsere Dachflächen passen ca. 5kW, also: € 10.000 Gesamtkosten.
  • Die Dächer sind nach Süd-Ost und Süd-West ausgerichtet. Das Tool PVGIS liefert 5300 kWh Jahresertrag.
  • Wir rechnen eigentlich mit eine mehr als durchschnittlichen Eigenverbrauch durch den Bürobetrieb und die Wärmepumpe. Unser Jahresstromverbrauch beträgt ca. 7.300 kWh, davon ist ca. die Hälfte der normale Haushalts-/Bürostrom, und die andere Hälfte braucht die Wärmepumpe. Im schlechtesten Fall können wir sicher mit dieser im Vergleich zum Verbrauch gar nicht so großen Anlage immer noch mit ca. 25% Eigenverbrauchsquote rechnen (nach Auslegungsdiagrammen von SMA).
  • Wir zahlen pro kWh - Energie plus Netz plus diverse Abgaben auf kWh umgerechnet - ca. € 0,19. Wir bekommen magere € 0,06 pro eingespeisten kWh. D.h. Gewinn wird in erster Linie erzielt durch die Einsparungen der sonst anfallenden Stromkosten:
    - Bei 25% Eigenverbrauch von 5300 kW sparen wir € 252
    - Dazu kommt die Einspeisevergütung für die restlichen 75%: Immerhin doch auch € 239
  • In Summe also fast € 500 oder 5% vom Kaufpreis.
  • Die Kosten werden oft € 100 - € 200 für Versicherung und Reinigung angegeben. In unserem Fall war das Update zur bestehenden Eigenheimversicherung sehr, sehr deutlich darunter (soweit aus mehreren Änderungen an der Versicherung herausrechenbar.)

Anlagendaten

Diese beiden Dachflächen - nach SO und SW orientiert - wurden möglichst gut ausgenutzt, aber mit dem Ziel unter 5 kWp zu bleiben - damit bleibt die Errichtung der Anlage nach der Burgenländischen Bauordnung ein geringfügiges Bauvorhaben.

Google-Maps-Plan mit eingezeichneten Modulen

Module und Strings

  • Um die Fläche gut auszunutzen, wurden monokristalline Module mit je 265 Wp Leistung gewählt (aus optischen Gründen: schwarze.)
  • Da die Flächen unterschiedlich beleuchtet werden, wird ein String pro Fläche gebildet.

Wechselrichter und Logging

  • Unterschiedliche Anzahl von Modulen pro String --> der Wechselrichter muss zwei MPP-Eingänge haben.
  • Unbedingt nötig (subjektive Anforderung der Messtechnik-Freaks): Lokaler Zugriff auf die eigenen Loggingdaten - auch ohne Portal, Logging im Abstand einiger Minuten.

Nachdem wir vorerst doch noch keine Batterie planen, wird es es dreiphasiger 4,5-kW-Wechselrichter (Fronius Symo), der unter anderem sein Logfile man als CSV-File auf einen USB-Stick schreibt.

Batterie?

Natürlich ein aktuelles Thema nach den Ankündigungen von Tesla!

Mit den veröffentlichen Kosten (Einkaufspreise für Anlagenanbieter!!) von  $ 3.000 für eine 7-kWh-Batterie zur Eigenverbrauchsoptimierung rücken Li-Ionen-Batterien preislich in die Nähe von Blei-Gel-Batterien.

  • Der zusätzliche 'Gewinn' durch eine Batterie ergibt sich aus dem Unterschied zwischen Stromkosten und Einspeisetarif für jene kWh, die sich durch die Batterie zusätzlich verschieben lassen - d.h. Strom den man über die oben angeführten ca. 25% hinaus selbst verbrauchen kann.
  • Je mehr Strom man auch ohne Batterie schon untertags verbrauchen kann, umso geringer ist der Zusatzgewinn durch die Batterie.
  • Wenn wir die Angaben von SMA als Richtwerte nehmen, könnten wir bei einer Anlage unserer Größe und einer 8kWh-Batterie den Eigenverbrauch von 25% auf etwas über 40% steigern.
  • Der theoretische Höchstwert von [PV-Jahresenergielieferung] / [Stromverbrauch] kann nie erreicht werden, da im Winter der Tagesverbrauch deutlich über der PV-Lieferung liegt. Die PV-Anlage liefert im Dezember einige  kWh, die Wärmepumpe benötigt z.B. an seinem sehr kalten Tag ~35 kWh (140kWh Heizenergie bei einer Tagesarbeitszahl von 4).
  • Insgesamt ergibt sich ein zusätzlicher Gewinn von jährlich € 150 - € 300. Damit wäre eine 3000-Euro-Batterie ca. am Ende ihres Lebens amortisiert (Das ist noch keine exakte Investitionsrechnung bzw. gilt für sehr niedrige Steigerungsraten von Preisen und einem sehr niedrigen internen Zinsfuß).

Ein zusätzliches Argument für eine Batterie wäre eine Notstromversorgung. Gegen diese haben wir uns vorerst aus diesen Gründen entschieden:

  • In Österreich beträgt die statistische Dauer eines Stromausfalls pro Kunde weniger als eine Stunde im Jahr - an unserem Standort aus Erfahrung eher weniger.
  • Gerade im Winter, wenn der Strom besonders dringend benötigt würde, liefert die PV-Anlage ohnehin zu wenig Energie, um die Batterie überhaupt voll zu bekommen.
  • Für den Notbetrieb müssen Vorkehrungen getroffen werden, welche Geräte gleichzeitig am - nun vom Wechselrichter anstelle des Netzes 'betriebenen' - Wechselstromnetz laufen dürfen. Die AC-Output-Leistungen von Inselwechselrichtungen scheinen deutlich kleiner als die DC-Eingangsleistungen zu sein - bei 3 kW kann es schon eng werden mit einem starken Verbraucher.
  • Für die Überbrückung kurzer Stromausfälle und den sicheren Betrieb der wichtigsten Elektronik und Computer (Server, Switch, Router,..) reicht auch eine USV. Diese haben wir schon lange, da vor vielen Jahren pünktlich jeden Tag um 16:00 das Netz ganz kurz unterbrochen wurde.

Sicherheitseinrichtungen

Der Wechselrichter hat AC-  und DC-Trennschalter, zusätzlich gibt es einen separaten Überspannungsableiter. Wir haben außerdem die Gelegenheit genutzt, den noch nicht vorhandenen Blitzschutznachrüsten zu lassen.

Ob und wann der Feuerwehrschalter jetzt wirklich Pflicht wird, ist nicht ganz so einfach festzustellen. Momentan ist er es nicht nicht - wir haben ihn trotzdem einbauen lassen mit folgenden überraschenden Erkenntnissen:

  • Eigentlich sind es zwei Schalter: einer unten in der Nähe von Wechselrichter und Zählerkasten, einer am Dach in der Nähe der Module.
  • Schaltet man einen aus, muss man auch den anderen manuell wieder einschalten.
  • Bei einem Stromausfall wird er automatisch ausgeschaltet.
  • Erkenntnis: Auch wenn Stromausfälle sehr selten sind, sollte man den Schalter oben erreichbar anbringen. 'Normalerweise' am Dachboden, über der 'Zwischendecke'. Mangels Dachboden prangt er aber nun an der Decke.
  • Den 16:00-Spannungsabfall gibt es immer noch - der ist aber mittlerweile so gering, dass weder Computer ohne USV noch dieser Schalter davon beeinträchtigt wird.

Feuerwehrschalter

Monitoring und Zähler

Wir haben einen Zweirichtungszähler erhalten, der an sich ein Smart Meter ist (Siemens AMIS), aber mangels Anbindung an die Zentrale noch nicht als solches funktioniert. Für die Messung des Eigenverbrauches und das Verfolgen von Lastspitzen haben wir folgende Möglichkeiten in Erwägung gezogen:

  • Einbau eines zusätzlichen M-Bus-Moduls und Anbindung an unsere Steuerung (UVR1611) über einen M-Bus-Konverter. Scheitert an:
    • Das M-Bus-Modul von Siemens ist nicht mehr erhältlich.
    • Der Bus-Konverter kann nicht für elektrische Zähler verwendet werden.
  • Der Siemens-Zähler verfügt über eine standarisierte IR-Schnittstelle (OBIS / DLMS), die auch für Servicezwecke verwendet wird. Andere Netzbetreiber bieten mittlerweile diese auch als die vom Regulator geforderte unidirektionale Kundenschnittstelle an. Für den Zugriff wird ein IR-Lesekopf benötigt und ein Geräte, dass dieses Protokoll spricht - eine Lösung dafür ist von Loxone erhältlich. Das individuelle Kundenpasswort für den Zähler würden wir erhalten. Die Einbindung in das eigene Logging könnte durch das Erstellen des Logfiles auf dem Loxone-Miniserver erfolgen (und anschließenden Import der CSV-Datei - für die Daten vom Wechselrichter läuft es ja ähnlich) oder - eventuell! - durch KNX-Kommunikation zwischen UVR1611 und Loxone.
  • Der Wechselrichter unterstützt die Einbindung (s)eines Smart Meters zur Messung des Verbrauchs, installiert 'hinter' dem Zähler des Netzbetreibers. Damit wären die Eigenverbrauchsdaten im Logging des PV-Wechselrichters verfügbar (pro Phase, mit 5-Minuten-Auflösung).
  • Ein Smart Meter kann man auch unabhängig von den anderen Komponenten beschaffen  und direkt hinter dem offiziellen Zähler installieren lassen. Je nach Typ werden folgende Funktionen unterstützt:
    • Lokales Zwischenspeicherung auf dem Zähler, der auch ein Logger ist.
    • Abholen der Daten über LAN oder WLAN.
    • Echtzeitloggen vom Zähler über MODBUS oder MODBUS TCP.

Für Details zu Zählern und den Schnittstellen siehe die hier zusammengestellten Links.

Wir haben uns jetzt für ein eigenes Smart Meter mit Logger-Funktion und WLAN entschieden (EM210 von TQ-Systems) aufgrund folgender Funktionen:

  • Minimierung zusätzlicher Kabelverbindungen.
  • Logger-Funktion - damit muss das WLAN auch nicht permanent aktiv sein. EM300 aus der gleichen Serie würde zwar Echtzeit-Loggen ermöglichen über MODBUS, MODBUS TCP, oder über ein simples Webinterface, allerdings hat der gewählte Zähler ein benutzerfreundliches Webinterface, über das man 'Ad-Hoc-Messungen' machen kann (und das wahrscheinlich auch ggf. das automatisierte Abgreifen der Daten ermöglicht - für das Webinterface des Wechselrichters war das relativ einfach über Powershell möglich)
  • Erzeugung einer CSV-Datei, ohne sich zuerst in die Programmierung einer anderen Lösung einzuarbeiten (Loxone).
  • Zusatzoption: Verfolgen von Spitzen in Echtzeit über das Webinterface des Loggers.

Weitere Informationen

Die Geschichte der Anlage und ihrer Konfiguration kann man - in hoffentlich unterhaltsamerer Form - auch auf unserem Blog nachlesen.

PV-Anlage, Module auf SO-Dach

Letzte Änderung: Recherche-Ergebnisse - Zähler für elektrische Energie, Monitoring des Eigenverbrauchs. Motivation: das eigene Smart Meter vom EVU ist mangels Datenanbindung an die Zentrale noch nicht smart genug.

Wärmepumpe

Nutzung von Wärmepumpen in verschiedenen Ländern und Geschichte der Wärmepumpe

Ungewöhnliche Wärmequellen

Unser Eisspeicher-Wärmepumpensystem LEO_2

... wird auf unserem Blog vorgestellt. Für einen Überblick siehe vor allem

Hier eine Liste einiger Artikel, die einen Überblick über das System geben und Besonderheiten beleuchten:

Stromnetz und Verfügbarkeit

Stromerzeugung

Wasserkraftwerke

In Schweden wird - eventuell - das größte Pumpspeicherkraftwerk der Welt geplant:

  • Siehe Seite 30 am Ende dieses Forschungsberichtes:
    Besides the official estimations there are some discussions [28b] about building pumping capacity between the lakes Vänern and Vättern in Southern Sweden. The difference in altitude is 44 meters between these lakes.?
  • ... und die letzte Seite dieser Präsentation:
    Possible future? Mariestads Kraftverks AB & others 50 km tunnel between the lakes Vänern & Vättern Cost: 250 billion SEK. Installed capacity: 50000 MW 

Frei verfügbare Wetterdaten

Inputdaten für eigene Simulationen.

Österreich und Deutschland:

Welt:

Außergewöhnliche Ereignisse:

  • Der Winter 1962/63 in Europa hat einen eigenen Wikipedia-Eintrag:
    … ungewöhnlich lange Frostdauer, die sich im Bereich eines 250-jährigen Ereignisses bewegt….
    … Von Januar bis März 1963 war der ganze Bodensee zugefroren, zum ersten Mal seit 1830 (ein sehr seltenes Ereignis, weil der Bodensee sehr tief ist).
    … Herausragend ist aber, dass gebietsweise auch in tiefen Lagen bis zu 120 Eistage in Folge lagen. Damit ist der Winter die größte Kälteperiode seit 1739/40 gewesen …

Verschiedene Heizungssysteme

Statistik: Heizungen 2003 bis 2012 nach Bundesländern, verwendetem Energieträger und Art der Heizung. Der Anteil von Einzelöfen ist maximal 15% (in Tirol) und fallend.

Einheiten, Heizwerte, Energiekosten

Tools zur Konvertierung von Einheiten:

Heizwerte und Brennwerte

Eigenschaften von Wasser zum Vergleich

Energiekosten - international

Energiekosten - Österreich

Steuerung, Regelung, Logging

Zähler für elektrische Energie, Monitoring des Eigenverbrauchs.

Manuals für Datenlogger von Technische Alternative GmbH (für die frei programmierbaren Regelungen UVR1611, UVR16x2)

CAN-Bus

Heizen mit der Abwärme von Computern

Computer, die Teil einer Cloud sind und Rechenleistung zur Verfühung stellen, heizen gleichzeitig private Häuser:

Wärmeübertragung

Physik-Grundlagen - Mechanik, Elektrodynamik

The Feynman Lectures of Physics (Englisch)

  • Volume 1: Mainly mechanics, radiation and heat.
  • Volume 2: Mainly electromagnetism and matter

Was ist Energie?

(elkement. Erstellt: 2012-12-20. Tags: Physik, Grundlagen, Energie, Definition)

Vor vielen Jahren hatte ich hier Definitionen versprochen. Am Tag vor dem Weltuntergang möchte ich zumindest damit beginnen.

Max Planck erklärt 1922 in seinen Vorlesungen über Thermodynamik, was immer noch Gültigkeit hat:

§ 56. Unter der Energie eines Körpers oder Körpersystems versteht man eine Größe, welche von dem augenblicklichen physikalischen Zustand abhängt, in dem sich das System befindet. Um die Energie eines Systems in einem gegebenen Zustand durch einen bestimmten Zahlenwert ausdrücken zu können, ist aber noch die Fixierung eines gewissen "Normalzustandes" (z. B. 0°C, Atmosphärendruck) desselben Systems notwendig, welche von vornherein ganz nach Willkür erfolgen kann. Dann ist die Energie des Systems in dem gegebenen Zustand, bezogen auf den nach Willkür fixierten Normalzustand, gleich der "Summe der mechanischen Äquivalente aller Wirkungen, die außerhalb des Systems hervorgebracht werden, wenn dasselbe auf irgendeine Weise aus dem gegebenen Zustand in den Normalzustand übergeht. Man bezeichnet daher die Energie auch kurz als die dem System innewohnende Fähigkeit, äußere Wirkungen hervorzubringen.

Unter dem mechanischen Äquivalent versteht Planck die geleistete Arbeit im Sinne von (mechanischer) Kraft, multipliziert (Skalarprodukt!) mit dem Wegstück entlang dessen die Kraft wirkt. Das System übt eine Kraft aus und gibt Arbeit ab oder an dem System wird Arbeit geleistet.

Planck unterscheidet zwischen der Änderung der Energie durch mechanischen Kräfte (wie sie in die Newtonsche Bewegungsgleichung eingesetzt werden) und der Energieänderung durch Wärmezufuhr. Letzteres kommt im ersten Hauptsatz der Thermodynamik zum Ausdruck.

Man kann die Energie daher - aus der Sicht der Mechanik - auch als ein "Erstes Integral der Bewegungsgleichung" bezeichnen. Ich folge hier der Terminologie von Prof. Macke. Dahinter steckt nichts anderes als das Aufíntegrieren der Beiträge der Kraft entlang der infinitesimalen Wegstücke. Wichtig ist, dass die Kräfte konservativ sind und durch ein so genanntes Potential darstellen - also als Ableitung (Gradient) einer Funktion, die jedem Punkt m Raum einen Wert zuweist.

K = -dV/dx     (1)

Der Trick besteht darin, die Bewegungsgleichung mit der Geschwindigkeit zu multiplizieren und umzuformen:

m . d2x/dt2 = K     (2)

m . dx/dt . d2x/dt2 = dx/dt . K = - dx/dt . dV/dx     (3)

Die linke Seite von (3) lässt sich darstellen als die zeitliche Ableitung der kinetischen Energie  - mv2/2). v = dx/dt      (4)

m . dx/dt . d2x/dt2 = =  2m dx/dt . d2x/dt2 / 2 = d(mv2/2)/dt     (5)

Die rechte Seite von (3) lässt sich zusammenfassen zu

- dx/dt . dV/dx = dV/dt     (6)

Damit ergibt sich insgesamt aus (3):

d(mv2/2)/dt + dV/dt = d/dt [mv2/2 + V] =      (7)

Damit ist die Größe mv2/2 + V - also die Summe aus kinetischer und potenzieller Energie konstant!

Die Energie ist also eine Zahl, die sich nach einer exakt definierten Vorschrift für ein System berechnen lässt. Unter einem System wird hier ein abgegrenzter Teil der Welt verstanden.

Richard Feynman bringt es besser auf den Punkt im Band I der Physics Lectures: Er vergleicht die Energie mit der Zahl von Bausteinen, die ein Kind besitzt. Die Bausteine sind unzerstörbar, aber nicht immer einfach erkennbar. Manche landen unter dem Teppich, in der Badewanne oder werden aus dem Fenster geworfen. Die Mutter des Kindes entwickelt eine Vorgangsweise, um die Zahl der Bausteine doch nachprüfen zu können - z.B. durch Messung des Wasserspiegels in der Badewanne oder des Gewichts der Aufbewahrungsschachtel.

Jede andere Definition von Energie - wie es sie heute zu geben scheint - muss ebenso selbstkonsistent und nachprüfbar formuliert werden.

La Palma, 2004. Windpark im Norden der Insel, in völliger Abgeschiedenheit - in der Nachbarschaft von 'Dörfern', die nur aus einigen verstreuten Häusern von Ziegenhirten bestehen.

Vakuumenergie: Energie aus dem Nichts?

(elkement. Zuletzt geändert: 2009-03-17. Erstellt: 2005-10-10. Tags: Physik, Nullpunktsenergie, Casimir-Effekt, Vakuumenergie)

Der Begriff Nullpunktsenergie taucht in parawissenschaftlichen Theorien auf (hier auch oft als: Nullpunktenergie) und wird als Energieform gesehen, die sozusagen überall vorhanden ist und unter Umständen nutzbar gemacht werden könnte. Ich möchte hier nicht auf spekulative Theorien eingehen oder eine Wertung dieser Theorien vornehmen.

Ich möchte einen Versuch machen, einen abstrakten Begriff aus der Quantenmechanik zu erklären - oder vielleicht besser: zu testen, ob und wie es möglich ist einen solchen Begriff (fast) ohne mathematische Konzepte zu veranschaulichen (Ich bin selbst skeptisch, was das betrifft).

Überblick

Formal ergibt sich die Nullpunktsenergie daraus, dass in der Beschreibung der Energie quantenmechanischer Zustände immer einen Ausdruck auftritt, der unabhängig davon ist, ob überhaupt eines der quantisierten Energieniveaus besetzt ist, d.h. unabhängig davon, ob sich »dort wirklich Teilchen befinden«. D.h. auch bei einer Temperatur gleich dem absoluten Nullpunkt gibt es »Energie«.

Diese Energie entsteht durch so genannte virtuelle Teilchen, die für kurze Zeit auftauchen und sofort wieder verschwinden. Man darf sich hier »Energie ausborgen aufgrund der Unschärferelation«. Was bedeutet das und wie kann man diese Argumentation begründen?

Zuerst muss man sich leider vom Konzept eines »Teilchens« komplett verabschieden - und zwar in weitaus umfassenderem Maße als es die (ohnehin schon »seltsamen«) Konzepte der nicht-relativistischen Quantenmechanik (Schrödinger-Gleichung) nahelegen. Eine Schrödingergleichung für ein Elektron oder ein Proton beschreibt eben immer noch ein Elektron oder ein Proton - und zu einem gewissen Grad kann man die Schrödinger'sche Wellenfunktion als verschmierte Wahrscheinlichkeitswolke darstellen - für die Wahrscheinlichkeit, diese eine Teilchen irgendwo zu finden. Die Teilchenanzahl wird hier stillschweigend als konstant angenommen.

Denkt man aber in relativistischen Kategorien, dann bedeutet eine Energieunschärfe größer als das berühmte m mal c zum Quadrat die Existenz oder Nicht-Existenz eines Teilchen (genauer: 2 mal diese Unschärfe ergibt ein Teilchenpaar). Denkt man also die Konsequenzen der Heisenberg'schen Unschärferelation plus die Äquivalenz von Energie und Masse zu Ende, entstehen virtuelle Teilchen »automatisch aus dem Vakuum«. In der fundamentaleren Quantenfeldthoerie ist ein einzelnes Teilchen eher eine Art lokale momentane Änderung des zugrunde liegenden Feldes - wie das Aufwallen der Wasseroberfläche in einem Topf mit kochendem Wasser.

Mathematisch beunruhigend an dieser Nullpunktsenergie erscheint nun, dass bei Vorhandensein vieler möglicher Zustände ein unendlich großer Ausdruck für die Energie entsteht. Bedingt durch die Zufälligkeit der Fluktationen virtueller Teilchen kann diese Energie aber nicht genutzt werden. Diese Unendlichkeit wird aber »relativiert« dadurch, dass man meist nur an einer Energiedifferenz, nicht an einer absoluten Energie interessiert ist bzw. der Begriff Energie per Definition nur als eine Differenz festgelegt wird (bis auf eine »Integrationskonstante der Bewegungsgleichung«).

Die Differenz zweier unendlicher Größen kann eine endliche Größe ergeben. Eine Berechnung der tatsächlichen Größe einer endlichen Kraft, die aus der Nullpunktsenergie entsteht, wurde von Casimir vorgenommen, seine Originalarbeit aus dem Jahr 1948 findet man hier:

On the attraction between two perfectly conducting plates. By H. B. G. Casimir

Quantisierung klassischer Systeme

Die Nullpunktsenergie ist (Definition!) die Energie eines Quantensystems, wenn alle Komponenten dieses Systems den jeweils niedrigsten Energiezustand einnehmen. In Quantensystemen können nur diskrete Energieniveaus besetzt werden (Grenzfall: freie Teilchen - kontinuierliche Zustände).

Dem untersten Energiezustand wird nicht unbedingt der Wert »Null« zugewiesen - die möglichen Werte der Energieniveaus ergeben sich aus der Lösung der quantenmechanischen Grundgleichungen (Eigenwertproblem). Das Paradebeispiel eine einfachen Systems ist immer der so genannte harmonische Oszillator: Eine Masse schwingt dadurch, dass die rücktreibende Kraft proportional zur Auslenkung ist.

Für einen harmonischen Oszillator (der der klassischen Bewegungsgleichung mit einer Kraft proportional zur Auslenkung folgt: md2/dt2(x) = -kx mit m...Masse, k...Federkonstante, x...Auslenkung, t...Zeit) beträgt der Wert der minimalen Energie

1/2 (Planck'sche Wirkungsquantum h quer) mal (Kreisfrequenz Omega)

Es handelt sich hier um eine punktförmige Masse am Ende eine idealisierten masselosen Feder.

Die Kreisfrequenz  ergibt sich aus der Masse und der Federkonstante:

Omega = Wurzel aus (Federkonstante / Masse)

Je »stärker« die Feder ist und je leichter die Masse, umso höher die Frequenz.

Viele physikalische Systeme können durch einen harmonischen Oszillator angenähert werden, wenn die Auslenkung um die Ruhelage / Entfernung vom Nullpunkt klein ist. Die Begriffe Auslenkung, Masse, Federkraft sind durch jeweils andere charakteristische Größen zu ersetzen. Ein solcher Oszillator wird nun quantisiert, indem nur bestimmte Schwingungsfrequenzen zugelassen werden. In den Anfängen der Quantenmechanik wurde diese Bedingung als zusätzliche Einschränkung als weiteres Postulat angenommen; später konnte man zeigen, dass sich die Quantisierung aus neu formulierten physikalischen Grundgleichungen automatisch ergab.

Casimir betrachtet das klassische System eines Hohlraums, des von metallischen Platten begrenzt wird. Im Quantensystems eines Hohlraums, der von perfekten Metallplatten begrenzt. Dieser Hohlraum ist mit Photonen befüllt ist (Lichtquanten); die Quantisierung dadurch berücksichtigt, dass die Wellenlängen der möglichen Lichtwellen nur bestimmte diskrete Größen annehmen können.

Die Analogie zwischen Photonen in einem Hohlraum ist eventuell intuitiv klar und kann durch Bilder wie die Schwingung einer an einem oder beiden Enden eingeklemmten Gitarrenseite hergestellt werden. Eine exakte Ableitung ergibt sich aus der Quantisierung des Strahlungsfeldes (siehe z.B. diese Erklärung zur Quantisierung des elektromagnetischen Feldes). Die Quantenphysik ist damit nicht so sehr eine eigene Theorie als eine Art Vorgehensmodell, wie man aus einer klassischen Theorie ihr quantisiertes Gegenstück entwickeln kann. In diesem Fall wird das das klassische Modell beschrieben durch die Maxwell-schen Gleichungen der Elektrodynamik, Licht ergibt sich aus diesen Grundgleichungen zwanglos als elektromagnetische Welle. Die Quantisierung dieses Strahlungsfeldes führt nun auf die teilchenartige Struktur.

Minimale Energie des Zustandes ohne Teilchen

Die Nullpunktsenergie setzt sich aus den Beiträgen der minimalen Energie jedes möglichen Zustandes zusammen - diese Energie wird minimal, wenn zu dieser Frequenz gar keine Teilchen vorhanden sind. Für den einfachen harmonischen Oszillator ist diese Energie gleich [h quer] mal Omega. Für das System der leitenden Platten gleich der Summe über alle 1/1 mal h quer mal Omega wobei Omega hier alle möglichen Frequenzen annehmen kann.

Man kann diese von Null verschiedene Nullpunktsenergie auch als Konsequenz der Unschärferelation sehen. Auch am absoluten Nullpunkt bewegt sich das System im Potentialtopf (im Fall des harmonischen Osziallators: einer Parabel) so dass Ort und Impuls entsprechend der Unschärferelation jeweils nicht exakt messbar sind. Gleiches gilt für (die konjugierten Variablen) Energie und Zeit.

Casimir's Berechnung der Energie und Kraft

(Ergänzung 2011: eine detaillierte Erklärung der Ableitung in Englisch findet man hier.)

Casimir berechnet nun (S.61) die Energien des Systems mit und ohne Platte durch Abzählen der möglichen unterschiedlichen (Impuls-)Zustände. Jeder Zuständ unterschiedlicher Frequenz trägt mit der Nullpunktsenergie des harmonischen Oszillators zur Energie bei:

  • Zum Begriff des Wellenvektors k:
    Der Betrag von k ist definiert als 2 mal Pi durch die Wellenlänge (für Strahlung und Wellen generell).
    Die Richtung des Wellenvektor ist parallel zur Ausbreitungsrichtung der Lichtwelle.
  • Die »Schwingungskurve« (Sinus, Cosinus... prinzipiell eine beliebiege Kombination davon) muss zwischen die beiden Platten passen - der Abstand der beiden Platten L muss gleich dem Vielfachen der halben Wellenlänge sein (Stehende Wellen), also:

L = Faktor n mal (Wellenlänge / 2)

Einsetzen der Definition des Wellenvektors k liefert

L = Faktor n mal (Pi / k)

oder (siehe Casimir)

k = n mal Pi / L

Da es sich um eine Würfel handelt, gilt diese Überlegung für jede der Richtungen im dreidimensionalen Raum - daher lässt sich dieser Zusammenhang für die Komponente des Wellenvektors in den Richtungen x, y und z schreiben. Hinter der Zerlegung in diese drei Komponenten steckt das allgemeine Prinzip, dass sich jede Welle durch Basis-Komponenten in Form von Sinus- oder Cosinusschwingungen darstellen lässt (Stichwort hier z.B. Fouriertransformation). Es gäbe auch ander Basen, aber wählt jene, die auch mathematisch am besten zu handhaben ist, also bei der Betrachtung eines Würfels mit Kanten parallel x / y / z Elementarwellen parallel zu diesen Richtungen.

Der Wellenvektor einer Welle mit beliebiger Richtung ergibt sich aus der Vektoraddition der Komponenten parallel zu den Achsen (S. 61 ganz unten)

Casimir hat nun betrachtet, wie sich der Energieinhalt dieses Würfels durch Hinzufügen einer elektrisch leitenden Platte parallel zur xy-Ebene ändert. Diese Platte befindet sich im Abstand a zur xy-Ebene.

Folgende Punkte sind in der Ableitung wichtig

  • Sein Trick beruht darauf, dass er den Energieinhalt berechenbar macht, indem der Hohlraum als endlich groß angenommen wird (Länge L). Die Realität wird durch den Grenzfall L gegen unendlich angenähert. Damit wird der absolute Energieinhalt (für verschiedene Positionen der Platte) im Fall L gegen unendlich jeweils unendlich groß.
  • Und aus der Differenz der beiden Energien ergibt sich die wirkende Kraft nach dem Prinzip:
    Energie = Kraft mal Weg.
    oder: Kraft = Gradient der Potentialfunktion.
    In jedem Fall ist Kraft immer resultierend aus der örtlichen Änderung von Energie. Ein System strebt immer den Zustand minimaler Energie an.
  • Die Differenz der beiden Energien allerdings ist proportional zur Fläche der Platte - L zum Quadrat. Die Kraft pro Fläche (ein »Druck«) ist damit unabhängig von der Größe des Hohlraums.

Der Summe über alle 1/2 [h quer] Omega wird unter Nutzung folgende Zusammenhänge vereinfacht:

  • Kreisfrequenz Omega = 2Pi mal Frequenz. Frequenz = Lichtgeschwindigkeit / Wellenlänge =  c mal k / 2 Pi
    Eingesetzt: Omega = 2Pi mal c mal k / 2Pi = c mal k
  • In der ersten Gleichung auf S.62 wurde die Summe bereits durch ein Integral ersetzt. Hier erfolgt der Übergang auf folgende Weise:
    Abzählen nach n --> Übergang zum Integral mit Abständen dn
    --> Übergang von dn zu dk nach Regeln der Differentiation: dn = L / Pi  mal dk.
    Somit kommt für die beiden als kontinierlich angenommenen Richtungen x und y ein Faktor L / Pi dazu, den man als konstanten Faktor auch aus dem Integral herausziehen kann.
  • Für die z-Richtung wird noch summiert und nicht integriert.
  • Die Beiträge für Wellen mit und ohne z-Anteil werden getrennt betrachtet: Ohne z-Anteil (kz = Null) wird ein Betrag in Höhe 1/2 mal (h quer) mal Omega gezählt. Ist kz ungleich Null ist der Beitrag doppelt so hoch, weil hier für jedes kx,kx,kz »zwei unterschiedliche stehende Wellen« existieren (siehe nächster Punkt).
    Da hier - noch - kein Integral verwendet wird, müssen die möglichen Kombinationen wirklich abgezählt werden im Gegensatz zur Integration über kx und ky.
  • Die »zwei Wellen« entsprechen den beiden möglichen Polarisationsrichtungen normal zur Ausbreitungsrichtung. Zwei linear unabhängige Polariationsrichtungen sind nötig, um jede mögliche Polarisation zu beschreiben. Der fehlende Faktor 2 für den Fall, dass eine k-Komponente gleich Null ist, ist ein Spezialfall. Er ergibt sich daraus, dass eigentlich über alle negativen und positiven k summiert werden müsste. Ist eine der Komponenten Null, kann die Summation ersetzt werden durch eine Summe von Null bis Unendlich. Es müsste eigentlich eine bessere, anschaulichere Erklärung geben - die darauf beruht, dass die spezielle Geometrie in diesem Fall die zweite Polarisationsrichtung unmöglich macht.

Für die Berechnung der Kraft ist wichtig:

  • Die betrachteten Situationen sind: 1) Energie für Platte nahe der xy-Ebene, 2) Energie der Platte nahe der anderen Begrenzung des Hohlraums (bei z=L)

Nordwesten von Teneriffa, nach einer Irrfahrt in der Umgebung von La Tierra de Trigo … obwohl THEORETISCH alles so gut beschildert war. Aber immerhin haben wir diesen Blick aus luftigen Höhen auf die Nordküste entdeckt (vergleichbar mit dem Blick der Elfenbein-Wissenschaftler auf die reale Welt ;-)

Newtonsche Bewegungsgleichung: Langweilig?

(elkement. Zuletzt geändert: 2009-11-07. Erstellt: 2004-09-28. Tags: Physik, Mechanik, Klassische Mechanik, Newton, Kraft, Differenzialgleichung, Wirkung, Energie)

Die Newton'sche Bewegungsgleichung dient meist als Einstiegspunkt in die mathematische Welt der Physik - und wirkt sehr einfach und langweilig. In natürliche Sprache übersetzt, sagt sie aus, dass zu jeder Zeit die Beschleunigung eines Teilchens (einer Punktmasse) durch dessen Masse und die einwirkende Kraft in folgender Weise bestimmt wird:

Kraft = Masse x Beschleunigung

Die Beschleunigung wiederum ist gleich der zeitlichen Änderung der Geschwindigkeit und mathematisch damit gleich der zweiten Ableitung der Änderung des Aufenthaltsortes des Teilchens nach der Zeit. Dies gilt in der Form streng genommen nur, wenn sich die Masse nicht mit der Zeit ändert. Aber auch dieser Fall berücksichtigt werden, in dem die Kraft allgemein dargestellt wird als:

Kraft = Zeitliche Änderung des Impulses

Mit folgender Definition des Impulses:

Impuls = Masse x Geschwindigkeit

Indem man die gedachte Punktmasse ersetzt durch ein kleines Volumenelement in Materie, kann hier die gesamte Mechanik verformbarer Körper abgeleitet werden (Kontinuumsmechanik).

Diese Gleichung wird zu einer Bestimmungsgleichung der Bahnkurve eines Teilchens (oder allgemeiner: der zeitlichen Entwicklung eines massebehafteten Volumenenelementes), wenn sie auf folgende Art betrachtet wird:

Masse x (Zweite Ableitung der Bahnkurve nach der Zeit) = Kraft

Die Kraft wiederum kann selbst von Orts- und Zeitkoordinate abhängen, so dass für ein einzelnes Teilchen mit einer Bahnkurve x(t) in einer eindimensionalen Welt [x... Ortskoordinate, t... Zeit] sich folgende Bestimmungsgleichung ergibt. m repräsentiert hier die konstante Masse und K die von Ort und Zeit abhängige Kraft K(x,t). d/dt stellt den Operator eine Ableitung nach der Zeit dar, d2/dt2 die zweite Ableitung, also die zweifache Anwendung dieses Operators.

m . d2x/dt2 = K(x,t)

Diese Gleichung ist eine so genannte Bestimmungsgleichung für die Bahnkurve eines Teilchens durch den Raum unserer Abschauung. Sie wird mathematisch gelöst, indem

  • ...die Funktion für die Kraft explizit eingesetzt wird. Im Fall einer idealisierten Feder wäre das z.B. eine Funktion die proportional zum Quadrat der 'Auslenkung' x ist, also K = -k . x2 mit k als Federkonstante, einer fixen Zahl. (Das negative Vorzeichen deutet hier an, dass die Kraft entgegengesetzt zur Auslenkung der Feder wirkt.)
  • ... so genannte Anfangsbedingungen berücksichtigt werden, zum Beispiel der Ort und die Geschwindigkeit des Teilchens zu einer bestimmten Zeit.

Philosophie der Bewegungsgleichung und Alternativen

Die oben beschriebene Differentialgleichung kann auf folgende Art interpretiert werden: Zu jedem Zeitpunkt bestimmt die Kraft die Krümmung der Bahnkurve (Krümmung ist hier zeitlich gemeint, da es sich in diesem Beispiek um eine eindimensionale Welt handelt - aber im Fall der Bewegung auf einer Kreisbahn in einem zwei- oder dreidimensionalen Raum würde die sichtbare Krümmung im Raum tatsächlich auch mit einer Beschleunigung in Zusammenhang stehen.)

Das heißt, das Teilchen 'tastet sich vorwärts', auf seiner Bahn, Zeitschritt dt für Zeitschritt.

Aber es gibt eine andere Art, den gleichen Sachverhalt mathematisch zu beschreiben, der aber einen anderen philosophischen Hintergrund hat oder zu haben scheint: Die Newton'sche Bewegungsgleichung kann dargestellt werden als das Ergebnis folgender Überlegung:

  • Aus der Bahnkurve des Teilchens ermittelt man die so genannte 'Wirkung' bzw. das 'Wirkungsintegral'. Hier handelt es sich um das Integral der Differenz zwischen kinetischer und potentieller Energie. Da die Bahnkurve ermittelt werden soll, ist die Abhängigkeit von der Zeit zu diesem Zeitpunkt noch nicht bekannt. Die Bahnkurve x(t) wird eben genau in dieser Form in die Abhängigkeit der potentiellen und der kinetischen Energie von Ort und Zeit eingesetzt. Es handelt sich hier um ein Funktional - eine Funktion, die von einer anderen anderen Funktion (x(t)) abhängt.
  • Nun wird postuliert, dass diese 'Wirkung'  einen minimalen Wert erreichen soll (vergleichbar zu der Minimierung der Energie oder der Maximierung der Entropie in der Thermodynamik.
  • Aus einer mathematischen Untersuchung dieser Minimumsbedingung - einer so genannten 'Variation' des Wirkungsintegrales - ergibt sich nun wiederum die Newton'sche Bewegungsgleichung.

Die Details dieser Ableitung werden von Richard Feynman in Band 2 seiner Physics Lectures dargestellt (Kapitel 19:  The Principle of Least Action).

Entscheidend ist, dass hier implizit alle möglichen Wege des Teilchens zwischen Anfangs- und Endpunkt betrachtet werden, also ob man rückwirkend den Endpunkt kennen würde bzw. als ob man alle möglichen Bahnen in Millionen möglicher 'Universen' vergleichen würde. Unter der Annahme, dass die Endpunkte fix sind, beschreibt die Newton'sche Bewegungsgleichung den Pfad der minimalen Wirkung.

Dies scheint nun eine völlig unterschiedliche Annäherung an den gleichen Sachverhalt zu sein: Einmal tastet sich das Teilchen (oder allgemeiner: das System) Schritt für Schritt vorwärts, nach den Regeln einer differentiell formulierten Anleitung. Nach dem eben beschriebenen Formalismus wiederum betrachtet man alle möglichen Wege in integraler Form und ermitteln den tatsächlich realisierten durch die Betrachtung einer integralen Größe.

Die integrale Betrachtung erscheint ungewohnt und wirft die Frage auf, wie das Teilchen denn nun wissen soll, wie es sich zwischen den Zeiten t und t + dt verhalten soll, wenn doch das Gesetz, dem es folgen soll, für den gesamten langen Weg gilt. Die Lösung des scheinbaren Konfliktes liegt darin, dass die Minimumsbedingung nicht nur für den gesamten Weg gilt, sondern auch für beliebige Teilstücke (sonst wäre das Gesetz nicht universell). Betrachtet man nun kleinere und kleinere Ausschnitte aus dem gesamten Weg, dann wird die Minimalbedingung für das Integral (der Wirkung) zur Bedingung, dass sich die potentielle Energie wenig ändert bei Variation der Bahn. Mathematisch betrachtet, entspricht die Änderung der potentiellen Energie der ersten Ableitung der Potentialfunktion nach der Ortskoordinate - und das ist für so genannte 'konservative Kräfte' wiederum genau der Kraft.

Mechanik und Quantenmechanik

Überlegungen wie die oben beschriebene machen für mich die Mechanik in 'philosophischer Hinsicht' genauso interessant wie wie die Quantenmechanik. Noch deutlicher wird das in der statistischen Mechanik als 'Hintergrund' der Thermodynamik, wenn formale Beschreibungen werden, die die klassische Mechanik bis auf 'Quantenterme' auch formal der Quantentheorie ähnlich sehen lassen.

Mechanik und 'Mechanisches Denken'

(Hier handelt es sich um eine unvollständige Gedankenskizze)

Hier soll es nicht im Detail um Mechanik gehen, sondern um die Auswirkung des Erfolges der Mechanik auf das Denken der Menschen - bis heute.

Für mich ist nicht ganz klar, was der Durchschnittsbürger von Quantenphysik weiß, bei Mechanik bin ich mir da eher sicher. Ich glaube (u.a. aufgrund von Diskussionen mit an Quantenphysik Interessierten), dass dieses so genannte mechanistische Weltbild uns so prägt, dass wir Probleme bekommen die Quantenphysik zu 'verstehen', weil sie mit den Bildern umher fliegender bunter Billard-Kugeln kollidiert, dass wir z.B. von Atomen haben. Würden die oben erwähnten alternativen Darstellungsarten der Mechanik bekannter sein, wäre dies vielleicht nicht der Fall.

(Noch nicht erwähnt wurden hier auch chaotische Phänomene in Mehr-Körper-Systemen, die wieder einen 'geheimnisvollen' Aspekt zur Mechanik beisteuern).

Da die Quantenphysik wie auch die Relativitätstheorie zwar dem Namen nach bekannt ist, aber als 'unverständlich' gilt, werden hier oft mystisch-esoterische Vorstellungen als 'Erklärungskitt' verwendet.

Wie das genau funktioniert und was man hier z.B. in der Ausbildung an der Schule oder an z.B. an wissenschaftichen Zeitschriften oder Fernsehsendungen, ist noch zu untersuchen. Ein Problem könnte hier sein, dass 'Wissen' bruchstückhaft und anekdotenhaft vermittelt wird - mit der Begründung, das wir ja bei der berühmten Explosion des Wissens keine Chance hätten, jemals alles zu wissen. Umso wichtiger erschiene mir die Darstellung der Grundlagen anstelle von Anekdoten. Vielleicht bedarf es aber den Fähigkeiten eines Feynman, diese so darzustellen, dass sie nicht als 'trockene Theorie' empfunden werden.

Anekdoten sind wichtig zur Verankerung des Wissens durch 'Geschichten', allerdings müssen diese Anekdoten immer vor dem Hintergrund geschichtlicher Ereignisse gesehen und vermittelt werden. Gerade im Bereich der Quantenphysik (und der Wissenschaft generell) erscheint die Diskussionen um Interpretationen und 'richtige Theorien' in einem anderen Licht, kennt man auch die persönlichen Differenzen der beteiligten Personen (Siehe Publikationen zur Geschichte von Physik und Mathematik, z.B. Sonderheft Spektrum der Wissenschaft zur Quantenmechanik oder die Abrisse zur Geschichte der Mathematik im Buch 'Pi in the Sky'.)

(Link zur ORF-Sendung 2012 wiedergefunden)

Captain Kirk's Lieblingsbefehl

(elkement. Zuletzt geändert: 2012-10-24. Erstellt: 2003-02-14. Tags: Physik, Energie, Parawissenschaften, Philosophie)

"Energie" ist ein Begriff, der innerhalb der Naturwissenschaften eine klar (mathematisch) definierte Bedeutung hat, der aber auch umgangssprachlich verwendet wird.

Hier werde ich versuchen, allgemein verständliche und doch exakte Erklärungen dazu zu geben (sozusagen auf den Spuren von Richard Feynman), aber andererseits auch Links zu wissenschaftlichen Sites ergänzen.

Darüber hinaus wird der Begriff von Parawissenschaftlern in teilweise anders oder nicht definierter Form gebraucht. Eine sicher noch oberflächliche Recherche (motiviert durch diesen Fernsehbeitrag im ORF) bringt mich dazu, vorab einmal folgende Hypothesen über den parawissenschaftlichen Gebrauch des Begriffes Energie aufzustellen - bzw. auch etwas über den generellen Umgang von Para-Wissenschaftlern mit wissenschaftlich vorbelegten Begriffen abzuleiten.

Wie bereits an anderer Stelle dargelegt, bekenne ich mich wieder zu einem "wohlmeinenden Skeptizismus": Es wäre aus meiner Sicht sogar legitim, den Begriff Energie anders zu verwenden und umzudefinieren (auch wenn es mir etwas mühsam erscheint, nicht besser gleich einen neuen Begriff einzuführen). Wenn man aber so vorgeht, muss der "neue Energiebegriff" ähnlich streng definiert werden wie der seit Jahrhunderten verwendete.

Der Begriff wird nicht exakt definiert bzw. unterschwellig postuliert, dass die betrachtete neue Art von Energie einer "schulwissenschaftlichen" Definition nicht bedarf.

Wo nötig, werden in den Begründungen Teile von Beweisen aus der (Schul-)Wissenschaft verwendet, ohne das entsprechende Rahmenwerk mit allen Konsequenzen anzuerkennen.

Wenn man hier einen Vorwurf an die parawissenschaftliche Gemeinschaft heraushören kann, ist das folgender: Mit einer durchaus berechtigten Kritik an den Unzulänglichkeiten der Scientific Community und der Frustration über die mangende Anerkennung durch diese werden die Leistungen vieler Pioniere der Wissenschaft vergangener Jahrhunderte nicht gewürdigt, die enorme Anstrengungen in eine exakte Definition von Begriffen wie Energie und die konsistente Einordnung in ein "wissenschaftliches Weltbild" investiert haben. Dass das wissenschaftliche Weltbild leider oft durch dogmatische Äußerungen einer Scientific Community verzerrt dargestellt wird, liefert der Argumentation der Parawissenschaftler mehr Munition als es sie entkräften würde

Persönliche Website von Elke Stangl, Zagersdorf, Österreich, c/o punktwissen.
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